Interpolasi

Pada analisis regresi, kurve atau fungsi yang dibuat digunakan untuk mempresentasikan suatu rangkaian titik data dalam koordinay x-y. Kurve atau garis lurus yang terbentuk tidak melalui semua titik data akan tetapi hanya kecendrungan (trend) saja dari sebaran data, sedang pada interpolasi dicari suatu nilai yang berada diantara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya. Untuk dapat memperkirakan nilai tersebut, pertama kali dibuat suatu fungsi atau persamaan yang melalui titik-titik data, setelah persamaan garis atau kurve terbentuk, kemudian dihitung nilai fungsi yang berada diantara titik-titik data.

            Interpolasi berguna untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi mempunyai orde atau derajat.

Macam-macam interpolasi :

1. Interpolasi Beda Terbagi Newton

·         Interpolasi Linier : merupakan interpolasi yang diperoleh dengan cara menghubungkan
                            dua titik yang mengapit daerah yang akan dicari interpolasinya.

Rumus umum    

Langkah – langkah penyelesaian :

a. Cari nilai fungsi untuk setiap interval Δx (menghitung nilai f(x) pada interval antara
    dua titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda).

b. Kedua nilai fungsi tersebut ditarik garis lurus hingga terbentuk suatu segitiga, dengan
    menggunakan sifat segitiga sebangun didapat persamaan berikut :

c. Gunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(x_i) atau f(x_{i + 1}) sedemikian
    sehingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda.

d. Langkah diatas diulang sampai nilai fungsi f (x_*) yang didapat mendekati nol.

Flowchart interpolasi

Prosentasi kesalahan pola interpolasi linier :

Ɛ_t =

Algoritma Beda Terbagi Newton

Input    : (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)), …., (x_n, f(x_n)), (x_{n + 1}, f(x_{n + 1})) ,x

Output : a₁, a2, a3, …, a_n, a_n+1,polinom

Proses :

1. For k = 1 TO (n+1)

    D(1, k) = f(x_k)

2. a₁ = D(1,1)

3. FOR j = 2 TO (n+1)

    (a) FOR k = 1 TO ((n+1) – j+1)

                        D(j,k) = (D(j – 1, k+1) – D(j – 1,k))/(x_k+j-1 – x_k)

    (b) a_j = D(j, 1)

4. Selisih(1) = x –x(1)

5. Polinom = a₁

    Polinom = polinom + (a(i) * selisih(i-1))

    Selisih(i) = selisih(i-1) * (x-x(i))

6. STOP

2. Interpolasi Lagrange

Joseph Louis Langrange (Prancis) menulis persamaan garis lurus dalam bentuk polynomial langrange. Polinomial langrange dapat digunakan untuk menginterpolasi tabel dengan n nilai meskipun intervalnya titik-titik data tidak sama.

Algoritma Interpolasi Langrange

Input    : (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)), …., (x_n, f(x_n)), x

Output : Polinom P_n-1 (x)

Proses :

1. P_n-1(x) = 0

2. FOR k = 1 TO n

    (a) L_k (X) = 1

    (b) FOR j = 1 TO n

            If j ≠ k then L_k(x) = L_k(x) * (x – x_j) / (x_k – x_j)

     (c) P_n-1(x) = P_n-1(x) + f(x_k) * L_k(x)

3. STOP

3. Interpolasi Spline

·         Tujuan interpolasi Spline  adalah untuk penghalusan.

·         Interpolasi spline linear, kuadratik, kubik.

Metode Spline adalah metode interpolasi yang biasa digunakan untuk mendapatkan nilai melalui kurva minimum antara nilai-nilai input. Metode ini baik digunakan dalam membuat permukaan seperti ketinggian permukaan bumi, ketinggian mukai air tanah ayaupun konsentrasi polusi udara. Kurang bagus untuk situasi dimana terdapat perbedaan nilai yang signifikan pada jarak yang sangat dekat. Jika dipilih metoda Spline maka ada pilihan tipe Regilarized dan Tension. Regularized membuat permukaan halus sedangkan Tension mempertegas bentuk permukaan sesuai dengan fenomena model.

Spline merupakan suatu kurva yang dibangun dari potongan-potongan polynomial (picewise polynomial) dengan titik-titik belok disebut knot (spline polynomial, 2006). Diberikan n+1 knot xi dengan

X₀ < X₁ < … < X_n-1 < X_n

Dengan n+1 nilai-nilai knot yi dicoba untuk menemukan suatu fungsi spline derajat n , yaitu :

Menggunakan interpolasi polinomial, polinomial derajat n yang menginterpolasi himpunan data
             adalah secara unik didefinisikan dengan titik-titik data. Spline derajat n yang menginterpolasi
             himpunan data yang sama tidak secara unik didefinisikan, dan kita mengisi dalam n-1 derajat
            bebas tambahan untuk menyusun suatu interpolan yang unik. Salah satu model spline yang
            banyak digunakan adalah spline kuadrat. Spline kuadrat dapat disusun sebagai :

    

Koefisiennya dapat ditemukan dengan memilih z0 dan kemudian menggunakan hubungan
                recurrent :

Selanjutnya dimasukkan dalam persamaan (4) untuk menghasilkan persamaan spline yang
            dimaksud.